考试科目代码：[619] 考试科目名称：数学分析

　　一、考试形式与试卷结构

　　(一)试卷成绩及考试时间

　　本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

　　(二)答题方式

　　答题方式为闭卷、笔试。

　　(三)试卷结构

　　计算题、解答题、证明题等

　　二、考试目标：

　　1.掌握数学分析的基本概念和基础知识。

　　2.理解数学分析的基本理论和基本方法。

　　3.运用数学分析的基本理论和方法来分析、解决相关的实际问题。

　　三、考试范围：

　　(一)实数集与函数

　　实数的性质、确界原理，函数概念，函数的奇偶性、周期性、有界性、无界性，复合函数和反函数，初等函数。

　　(二)极限与函数的连续性

　　数列和函数极限的概念，极限的四则运算及其性质，单调有界原理，Heine定理，二个重要极限，函数的连续性，间断点，初等函数的连续性及其性质，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的比较。

　　(三)导数与微分

　　导数定义，导数的几何意义，导数的四则运算、反函数的求导法则和复合函数求导的链式法则; 隐函数与参数方程确定的函数的求导法则;高阶导数;微分概念与微分的几何解释;微分法则，一阶微分的形式不变性。

　　(四)微分中值定理及其应用

　　极值概念;Fermat定理和微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理);泰勒公式， L'Hospital法则;利用导数研究函数的各种性质(单调性与极值，函数的凸性); 函数极值的判别法;利用导数求函数的渐近线并且绘制函数的图像。

　　(五)实数的完备性

　　区间套定理;聚点定理;有限覆盖定理。

　　(六)不定积分

　　原函数和不定积分的概念;不定积分的基本公式;换元积分法，分部积分法;有理函数的积分;三角函数有理式的积分;某些无理函数的积分。

　　(七)定积分

　　定积分概念及其几何意义;定积分的基本性质;函数的一致连续性，康托定理; Newton-Leibniz公式;定积分换元积分法和分部积分法。

　　(八)定积分的应用

　　微元法;定积分在几何上的应用(平面图形的面积，已知截面积的立体体积，旋转体的体积，平面上的光滑曲线的弧长，曲线曲率);定积分在物理上的应用(总压力问题，变力作功问题)。

　　(九)广义积分

　　无穷积分和瑕积分的概念及其敛散性(包括绝对收敛和条件收敛)，无穷积分和瑕积分的性质，Cauchy收敛准则，比较判别法，积分第二中值定理，Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法。

　　(十)数项级数

　　数项级数的收敛和发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的基本性质，正项级数收敛的判别法(比较判别法、比值判别法、根式判别法、拉阿比判别法、积分判别法) ;交错级数和Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，柯西收敛原理，Abel变换以及关于一般数项级数的Abel阿贝尔判别法和Dirichlet判别法,级数的重排问题及乘积问题。

　　(十一) 函数项级数

　　函数列一致收敛性概念及其几何意义，函数列一致收敛性的判别法，一致收敛函数列的极限函数的分析性质(连续性、可积性、可微性);函数项级数一致收敛性概念，一致收敛的Cauchy收敛准则，函数项级数一致收敛的必要条件，函数项级数一致收敛性的判别法 (M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)，一致收敛的函数项级数的和函数的分析性质(连续性、可积性、可微性)。

　　(十二) 幂级数

　　幂级数的收敛域和收敛半径，Abel第一定理和第二定理，幂级数和函数的性质(连续性、可积性、可微性)，函数的幂级数展开。

　　(十三)傅里叶级数

　　三角函数系，三角级数的概念，以2p为周期的函数的Fourier级数，Fourier级数的收敛定理，函数的Fourier级数展开法。

　　(十四) 多元函数的极限与连续

　　平面点集的有关概念(区域、距离、聚点、开集和闭集等)，二维空间的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理)，多元函数的极限和连续性，多元函数的累次极限，有界闭区域上的连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。

　　(十五)偏导数与全微分

　　偏导数的概念，全微分的概念，偏导数与微分的关系;多元复合函数的微分法，多元函数一阶微分形式的不变性，高阶偏导数;方向导数的概念及求法，多元函数的Taylor公式。

　　(十六)隐函数存在定理

　　单个方程的隐函数存在定理，方程组的隐函数组存在定理，反函数组存在定理。

　　(十七)极值和条件极值

　　多元函数极值(条件极值与无条件极值)概念，稳定点概念，多元函数无条件极值的必要条件和充分条件，求多元函数无 条件极值的Lagrange乘数法。

　　(十八)含参变量的积分

　　含参变量的正常积分概念，含参变量的正常积分的分析性质(连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理)，含参变量的正常积分的计算;含参变量的广义积分的一致收敛概念，含参变量的广义积分的一致收敛的判别法(Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理);一致收敛积分的分析性质(连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理);Euler积分：Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。

　　(十九) 重积分

　　重积分的概念及其基本性质，化重积分为累次积分的计算方法;重积分的变量代换，极坐标变换，柱坐标变换，球坐标变换;曲面面积的计算，重积分在物理中的应用(质心，转动惯量等)。

　　(二十)曲线积分与曲面积分

　　第一型曲线积分的概念，第一型曲线积分的性质(线性性与路径可加性)，第一型曲线积分的计算公式及其应用;第一型曲面积分的概念、计算及应用。第二型曲线积分的概念及性质(方向性、线性性与路径可加性)，第二型曲线积分的计算公式及其应用;理解曲面的侧的相关概念，第二型曲面积分的概念及性质(方向性、线性性与曲面可加性)，第二型曲面积分的计算及应用。

　　(二十一) 各种积分间的联系

　　Green公式，用Green公式计算曲线积分及求区域的面积，曲线积分与路径无关的条件及其应用;Gauss公式及其应用，Stokes公式及其应用。

　　四、主要参考书目

　　1.《数学分析》(上、下)，华东师大数学系编，高等教育出版社2010。